O Princípio da Incerteza

(...) De acordo com Heisenberg e Bohr, a interpretação probabilística é fundamental em mecânica quântica, e deve-se abandonar o determinismo.(...)

Podemos determinar por meio de uma experiência real a posição e o momento no mesmo instante, da matéria (partículas) ou de radiação (ondas)? A resposta dada pela teoria quântica é: não com precisão maior do que a que é permitida pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Este princípio (...) afirma que uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente do momento, por exemplo, px , de uma partícula e também o valor exato da coordenada correspondente, x. Em vez disso, a precisão de nossa medida está inerentemente limitada pelo processo de medida em si, de forma tal que

Dpx Dx ³ ħ/2

 

onde o momento px é conhecido com uma incerteza de Dpx , e a posição x no mesmo instante com incerteza Dx. Aqui ħ (leia h cortado) é um símbolo simplificado para h/2p, onde h é a constante de Planck. Isto é,

 

ħ ≡ h/2p

 

Há relações correspondentes para outras componentes do momento, ou seja,

 

Dpy Dy ³ ħ/2,

 

Dpz Dz ³ ħ/2,

 

bem como para o momento angular. É importante notar que esse princípio não tem nada a ver com possíveis melhorias nos instrumentos que possam nos dar melhores determinações simultâneas de px e x. O que o princípio diz na realidade é que mesmo que tenhamos instrumentos ideais nunca poderemos obter resultados melhores do que

 

Dpx Dx ³ ħ/2

 

(...) Quanto mais modificarmos uma experiência para melhorarmos nossa medida de px , mais abrimos mão de poder determinar x precisamente. Se conhecemos px  exatamente, nada sabemos a respeito de x (isto é, se Dpx = 0, Dx = ∞). Portanto, a restrição não é em relação à precisão com que px­ ou x podem ser medidas, mas em relação ao produto Dpx Dx numa medida simultânea de ambos.

 

O princípio da incerteza também está relacionado com a medida da energia E e do tempo t necessário à medida, como, por exemplo, o intervalo de tempo Dt durante o qual um fóton com incerteza na energia DE é emitido de um átomo. Neste caso,

 

DE Dt ³ ħ/2

 

onde DE é a incerteza no nosso conhecimento da energia E de um sistema e Dt é o intervalo de tempo característico da rapidez com que ocorrem as mudanças no sistema.

(...) As relações de Heisenberg são conseqüência do postulado de de Broglie e de propriedades simples comuns a todas as ondas. Como o postulado de de Broglie é verificado pelas experiências (...), podemos dizer que o princípio da incerteza está baseado na experiência.

Notemos, entretanto, que é novamente a constante de Planck h que distingue os resultados quânticos dos clássicos. (...) É o fato de h ser pequeno que tira o princípio da incerteza do alcance de nossas experiências cotidianas. (...) Se não podemos determinar x e p simultaneamente, então não podemos especificar as condições iniciais do movimento de forma exata. Assim, não podemos determinar precisamente o comportamento futuro de um sistema. Em vez de fazer previsões determinísticas, podemos afirmar apenas os possíveis resultados de uma observação, dando as probabilidades relativas de sua ocorrência. Como o ato de observar um sistema o perturba de uma forma que não é completamente previsível, a observação altera o movimento do sistema fazendo com que ele não possa ser perfeitamente conhecido.

 

O Microscópio

 

Digamos que queiramos medir com toda precisão possível a posição de uma partícula “pontual”, como um elétron. Para maior precisão usaremos um microscópio para “ver” o elétron. Para ver o elétron precisamos iluminá-lo, pois é na verdade o fóton de luz espalhado pelo elétron que é visto pelo observador. Já aqui, mesmo antes de qualquer cálculo, surge o princípio da incerteza. Só o ato de observarmos o elétron o perturba. No instante que iluminamos o elétron, ele recua, devido ao efeito Compton, de uma forma que não pode ser completamente determinada. Se não iluminarmos o elétron, entretanto, não seremos capazes e vê-lo (detectá-lo). Portanto o princípio da incerteza diz respeito ao processo de medida em si, e expressa o fato de que sempre existe uma interação não determinável entre o observador e o que é observado; não podemos fazer nada para evitar a interação ou para corrigir seus efeitos. No caso considerado podemos tentar reduzir ao máximo a perturbação causada ao elétron usando uma fonte luminosa muito fraca. No caso extremo podemos considerar que é possível ver o elétron se apenas um fóton por ele espalhado atingir a objetiva do microscópio. O momento do fóton é

 

p = h/l

 

Este fóton pode ter sido espalhado em qualquer direção dentro da região angular 2q dada pela objetiva a partir da localização do elétron. É por isso que a interação não pode ser previamente calculada. Vemos que a componente x do momento do fóton pode variar de +p senq a p senq e sua incerteza depois do espalhamento é

 

Dpx = 2p sen q’ = (2h/l) sen q

 

A lei de conservação do momento exige que o elétron receba um momento na direção x igual em módulo à variação da componente x do momento do fóton. Assim a componente x do momento do elétron tem a mesma incerteza da componente x do momento do fóton. Observe que para reduzir Dpx podemos aumentar o comprimento de onda da luz, ou usar um microscópio cuja objetiva tenha um ângulo menor.

Mas e quanto à coordenada x do elétron? Lembre que a imagem de um objeto pontual vista através de um microscópio, não é um ponto, mas uma figura de difração; a imagem do elétron é “difusa”. Se tomarmos a largura do máximo central da difração como sendo uma medida da incerteza em x, uma expressão bem conhecida para o poder de resolução de um microscópio nos dá

 

Dx = l/sen q

 

(Observe que, como sen q @ q, isto é um exemplo da relação genérica a @ l/q entre a dimensão característica do aparelho de difração, o comprimento de onda das ondas difratadas e o ângulo de difração.) O fóton espalhado que estamos considerando deve ter vindo de algum lugar de uma região com essa largura centrada no eixo do microscópio, de forma que a incerteza na localização do elétron é Dx. (Não podemos ter certeza do local exato de origem de cada fóton embora após um grande número de repetições da experiência os fótons produzam a figura de difração.) Observe que para diminuir Dx podemos usar luz com comprimentos de onda mais curtos, ou um microscópio cuja objetiva tenha um ângulo maior.

Se tomarmos agora o produto das incertezas, verificamos que



que concorda razoavelmente com o limite mínimo ħ/2 fixado pelo princípio da incerteza. Não podemos simultaneamente tornar Dpx e Dx tão pequenos quanto queiramos, pois o procedimento que diminui um deles aumenta o outro. Por exemplo, se usarmos luz de pequeno comprimento de onda (como raios g) para reduzir Dx através de uma melhor resolução, aumentamos o recuo Compton do elétron e conseqüentemente Dpx , e vice-cersa. De fato, o comprimento de onda l e o ângulo q dado pela objetiva sequer aparecem no resultado. Na prática, uma experiência dá resultados piores do que a equação acima sugere, pois esse resultado representa a situação mais ideal possível. No entanto, chegamos a ele a partir de fenômenos físicos perfeitamente mensuráveis, como o efeito Compton e o poder de resolução de uma lente. Esse resultado é uma conseqüência da quantização da radiação. Deveremos ter no mínimo um fóton iluminando o elétron (...), e mesmo um único fóton carrega momento p = h/l. É esse fóton espalhado que realiza a interação necessária entre o microscópio e o elétron. Essa interação perturba a partícula de uma forma que não pode ser exatamente prevista ou controlada. Como resultado, as coordenadas e momento da partícula não podem ser completamente conhecidos após a medida. (...)

Vamos agora considerar a relação entre as incertezas na energia e no tempo. Para o caso de uma partícula livre podemos considerar um elétron movendo-se ao longo do eixo x com energia



Se px tem uma incerteza Dpx , então a incerteza em E é dada por

 

DE = (px / m) Dpx = vx Dpx

 

Aqui vx pode ser interpretado como a velocidade de recuo ao longo de x do elétron que é iluminado em uma medida da posição. Se o intervalo de tempo necessário para a medida é Dt , então a incerteza em sua posição x é

 

Dx = vx Dt

 

Combinando

 

Dt = Dx / vx

e

DE = vx Dpx

 

obtemos

 

DEDt = Dpx Dx

 

Mas Dpx Dx ³ ħ/2. Portanto

 

DEDt ³ ħ/2



Adaptado de Física Quântica de R.Eisberg e R.Resnick, Ed. Campus